Леонид Топчиев родился 9 января 1930 года. В 1952—1975 был актером МХАТа. Среди сыгранных ролей — Алексей Турбин («Дни Турбиных» М.А. Булгакова), Тузенбах («Три сестры» А.П. Чехова). Заслуженный артист РСФСР (1969).

В 1975—1978 — главный режиссёр Вологодского театра драмы.

После конфликта Ф. Е. Шишигина с партфункционерами обкома КПСС и его ухода из Волковского театра, Топчиева пригласили занять пост главного режиссёра. В течение сезона он поставил на Волковской сцене четыре спектакля: «Репетитора» Г. Полонского (премьера 14 сентября 1978), «Юность отцов» Б. Горбатова (премьера 24 октября 1978), «Царскую охоту» Л. Зорина (премьера 16 марта 1979) и «Песню жизни» А. Сафронова (премьера 26 июня 1979). Некоторый успех имела только «Царская охота». Три остальных спектакля интереса у публики не вызвали, в первую очередь — из-за слабости выбранных к постановке пьес. По окончании сезона контракт с главным режиссёром продлён не был.

В дальнейшем Топчиев руководил Московским литературно-драматическим театром ВТО, с 1983 — профессор кафедры мастерства актера в РАТИ-ГИТИС.