Учился в Драматической школе Е. Я. Неделина в Киеве. С 1918 работал режиссёром в Киевском и Харьковском театрах.

В 1931 — 1934 гг. был главным режиссёром Ярославского театра драмы им. Ф. Г. Волкова. За три сезона поставил 12 спектаклей, в том числе — спектакль «16 дней» (Ярославский мятеж) по пьесе Д. Горбунова о событиях июля 1918 года. В числе первых в СССР Громов также осуществил постановку пьесы А. Афиногенова «Страх».

В эти же годы в Волковском театре работала жена И. Громова - актриса Анна Томашевская.

После отъезда из Ярославля работал режиссёром и художественным руководителем в Ивановском, Иркутском, Сталинском (Новокузнецком), Тульском драмтеатрах.

20 июня 1938 года в Туле, где он работал главным режиссером драматического театра, И.Г. Громов был арестован и обвинен в создании мифической шпионской организации, работавшей якобы в пользу японской разведки. Вместе с ним была арестована и его жена А.С. Томашевская, а также ещё 10 сотрудников Тульского драмтеатра. 10 сентября 1938 года Анну Сергеевну Томашевскую, актрису Н.М. Нерадомскую-Сервичковскую и кассира Т.С. Новаренко-Лельскую расстреляли на Тесницком полигоне под Тулой. Девятерых мужчин (в числе которых были актеры Николай Харченко и Давид Лельский) должна была "судить" Военная коллегия Верховного суда. Но дело затянулось, а в 1939 году и вообще было прекращено в порядке ст. 204 «б» УПК РСФСР (недоказанность обвинения). И всех обвиняемых освободили. Громов вышел на свободу в декабре 1939 года.

После освобождения Громов продолжал работать в театрах. В 1945—1958 был главным режиссером Ашхабадского русского театра. В 1951 был принят в ВКП (б). В 1955 получил почетное звание "Народный артист Туркменской ССР". Вёл педагогическую работу: преподавал актёрское мастерство в туркменской и русской театральных студиях.